Thursday, May 30, 2013

COULD GERMANY BUILD THE BOMB?



16 years after the controversial conversation (Copenhagen, 1941), between Niels Bohr and Werner Heisenberg in an office of the Institute of Physics, the echoes of that meeting still remain. The conversation is part of world history because it reveals why USA built by fission the atomic bomb  and Nazi Germany not, as both countries had qualified scientists. Lacking recordings of such conversation, coherent explanations emerge after reading 11 letters written -but not sent- between 1950 to 1963 by Bohr, kept in secret by his family and finally published in 2002. Some of these and Heisenberg replicas appear in the book: "Brighter than a thousand suns" written by the journalist Robert Jungk. In these letters Bohr argues that: I- Heisenberg replica in Jungk's book, reflect different impressions, not being entirely certain. Conversely, Bohr said that he remenbered every word, spoken in an atmosphere of grief and stress because Denmark was occupied by troops of Nazi Germany. II-When Bohr learned that the recently arrived to Copenhagen: Heisenberg and Weizsäcker had fixed a Symposium at the German Institute he did not assisted as a matter of principle. Bohr of Jewish descent, was a loyal Danish, father-figure in his nation and very unhappy because of German occupation of his country. Heisenberg, a budding diplomat, guided by codes of their patriotic family, admired the Nazi army and believed that under his personal driving, Germany would have its atomic bomb.

III-In his letter No 1, Bohr shows his displeasure ensuring that Heisenberg and his companion, the young nobleman Weizsäcker showed arrogantly convinced that Germany would win the war and that Danish scientists should cooperate with Germany. Conversely, Weizsäcker assured that the message given by them to Bohr was that German scientists did not want to do the bomb and that the world, would believe to Bohr. IV-Bohr said that Heisenberg assured him that they had a complete mastery of the necessary steps to achieve a chain nuclear fission (at the end of the war it was shown it was true) and that if the war were prolonged enough, the first nation to use it, would win the war. Therefore it was silly not to ally with Germany. Bohr's concern was accentuated to hear this, because he himself 3 years earlier had published an article in which he argued that slowed neutrons could fission the uranium. V-Aware of his position contrary to Germany Bohr fled to Sweden (1943) and later to England. VI- While Weizsäcker and Heisenberg assured Bohr, that German scientists were in favor of preventing the use of atomic bombs by any government in the world, two years later (1943), another German scientist: Hans Jensen, called for increasing the production of heavy water in Copenhagen institutes. VII-It is clear that Germany could not build the atomic bomb during the war, because war project decisions were made by bureaucrats of the Wehrmacht, which in this case preferred to derive funds to rocketry projects, leaving nuclear fission in charge of the german Ministry of Culture.

PUDO ALEMANIA CONSTRUIR LA BOMBA?

16 años despues de realizada la polémica conversación (Copenhage, 1941), entre Niels Bohr y Werner Heisenberg en una oficina del Instituto de Fisica, los ecos de tal meeting aun perduran. La conversacion tiene que ver con parte de la historia mundial porque revela porque USA logro construir la bomba atómica por fision y la Alemania nazi : no, en tanto ambos países contaban con científicos calificados. Ante la inexistencia de grabaciones de la conversación, explicaciones coherentes emergen tras leer 11 cartas escritas -no enviadas- entre 1950-1963 por Bohr, mantenidas en secreto por su familia y, finalmente publicadas el 2002. Algunas de estas y las replicas de Heisenberg aparecen en el libro : “Brighter than a thousand suns” del periodista Robert Jungk. En dichas cartas Bohr sostiene que: I- Las replicas de Heisenberg aparecidas en el libro de Jungk, reflejan diferentes impresiones, no siendo del todo ciertas. Contrariamente, Bohr -según lo asegura el mismo- recordaba cada palabra, dichas en un ambiente de pesar y tensión en tanto Dinamarca se hallaba ocupada por entonces por tropas de la Alemania nazi. II-Cuando Bohr se entero que los recién arribados a Copenhage: Heisenberg y Weizsäcker habían arreglado un Symposium en el Instituto Aleman no asistió por una cuestión de principios. Bohr de ascendencia judía, era un danes leal, pater-figura de su nación y muy infeliz a causa de la ocupación alemana de su país. Heisenberg, diplomático en ciernes, guiado por códigos de su patriotica familia, admiraba al ejercito nazi y creia que bajo su conduccion personal construirían la bomba atómica.

III- En su carta No 1, Bohr muestra su disgusto al asegurar que Heisenberg y su acompañante, el joven aristócrata Weizsäcker mostraron arrogantemente su convencimiento de que Alemania ganaría la guerra y que los científicos daneses debían cooperar con Alemania. Contrariamente, Weizsäcker aseguro después que el mensaje dado por ellos a Bohr fue que los cientificos alemanes no querian hacer la bomba y, que el mundo le creería a Bohr. IV- Bohr sostuvo que Heisenberg le aseguro que ellos tenian un completo dominio de los pasos necesarios para lograr la fision nuclear en cadena (al final de la guerra se demostro que era cierto) y que si la guerra fuese lo suficientemente prolongada, el primero que la usara ganaría la guerra. Por lo tanto era tonto no aliarse a Alemania. La preocupación de Bohr, se acentuo al escuchar esto porque el mismo, 3 años antes había publicado un articulo en el que sostenía que neutrones lentos podían fisionar al Uranio. V-Consciente de su posición contraría a Alemania Bohr, huyo a Suecia (1943) y posteriormente a Inglaterra. VI- Mientras Weizsäcker y Heisenberg le aseguraban a Bohr que los cientificos alemanes eran partidarios de impedir el uso de bombas atomicas por cualquier gobierno del mundo, 2 años después (1943), otro cientifico aleman : Hans Jensen, instaba a incrementar la produccion de agua pesada en institutos de Copenhage. VII- Lo claro a es que Alemania no podia construir la bomba atomica durante la Guerra por que las decisiones de proyectos de guerra eran tomadas por burocratas de la Wehrmacht, que en este caso prefirieron derivar fondos a la coheteria dejando la fision nuclear a cargo del Ministerio de Cultura aleman.

Sunday, May 26, 2013

QUANTUM COMPUTERS




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Although the construction of quantum computers run slowly, D-Wave, a Canadian company sells (2007), prototypes of adiabatic quantum computer of higher speed -4000 times than their classic peers- to the Pentagon, Google, Lockheed and others. While in classical digital computer one bit equals to 0 or 1 independently, in quantum computers, atoms superposition allows reading 0 and 1 simultaneously, being performed many operations according to the number of qbits employed. 2 bits produces two operations, 3 qbits using photons, ions, electrons, permit 8 parallel operations. The need to accelerate the construction of quantum computers is the consequence of ever smaller size of microchips which at nanometer scale not work properly.

Although advances in quantum computing allow transportation, measurement and storage of photons, there are some obstacles. 1-As human observation modifies results, quantum computers must be kept isolated. 2 – Need to adjust computer's memory to quantum states. 3-Quantum decoherence (no particle entanglement), should be completed in much shorter times. 4-Need to maintain quantum error rates below 10-4 for an efficient computation. 5 - Then there is the problem of increasing the number of qbits for complex calculations, maintaining quantum coherence. 6- Now, D-Wave joins quantum computer components, using superconducting metals which while cooling the system, maintain low energy states (ground state: one of the orientations of the qbits). A small addition of energy from abroad, would ruin calculations.

Companies are interested in quantum computing, because : a-The possibility of superfast quantum energy or information teleportation. b-Factorization of large amounts of numbers, useful to decipher encrypted codes c-Possibility that a mobile phone, instantly recognize any object d-Choose the best flight routes to avoid snowstorms aircraft accidents. e-To develop more complex softwares required for fighter aircrafts. F-Search and process data in social networks g-Pattern recognition in images h. Identification of exoplanets, etc.

COMPUTADORAS CUANTICAS

Pese a que la construcción de ordenadores cuanticos avanza lentamente, D-Wave una compàñia canadiense vende (2007), prototipos de ordenadores adiabáticos cuánticos -superiores 4000 veces en velocidad- a sus pares clásicas, habiendo sido adquiridas por el Pentágono, Google, Lockeed y, otros. Mientras en computación digital clásica un bit equivale independientemente a 0 o 1, en la cuántica, la superposición de atomos permite leer 0 y 1 simultaneamente, realizándose muchas operaciones, según el número de qbits empleados. 2 bits produciran 2 operaciones, 3 qbits empleando fotones, iones, electrones, permitirán 8 operaciones paralelas. La necesidad de acelerar la construcción de ordenadores cuánticos deviene del tamaño cada vez menor de los microchips que al rondar la escala de nanómetros no funcionan correctamente.

Aunque los avances en computación cuantica permiten transportar, medir y almacenar fotones, hay obstáculos. 1-En tanto la observación humana modifica los resultados, los ordenadores cuanticos deben ser mantenidos aislados. 2- Falta adecuar la memoria del ordenador a estados cuanticos. 3-La decoherencia cuántica (ausencia de entrelazamiento de partículas subatómicas), debería ser completada en tiempos mucho más cortos. 4-Importa mantener la tasa de errores cuanticos por debajo de 10-4, para realizar una computacion eficaz. 5- Luego esta el problema de incrementar el numero de qbits para cálculos mayores, manteniendo la coherencia cuántica. 6- De momento, D-Wave, une los componentes cuánticos del ordenador, mediante metales superconductores que al tiempo que enfrían el sistema, mantienen estados de baja energía (ground state : una de las orientaciones de los qbits). Una pequeña adicion de energia del exterior, arruinaría los cálculos.

Las compañías se interesan por la computación cuántica ya que a- El teletransporte cuantico posibilitado por el entrelazamiento, haría mas veloz la trasmisión de la información. b-Permitiria factorizar grandes cantidades de números, utiles para descifrar códigos encriptados c-Que un teléfono móvil, reconozca al instante cualquier objeto d-Elegir las mejores rutas de vuelo para que aviones eviten tormentas de nieve. e-Desarrollar softwares mas complejos necesarios para aviones de caza de la Lockheed f- Buscar y procesar datos en redes sociales g-Reconocimiento de patrones en imágenes h. Identificacion de exoplanetas,etc.

Sunday, May 19, 2013

HUMAN CLONING IN SIGHT


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What means cloning technique: Somatic Cell Nuclear Transfer (SCNT): nuclear extraction of human skin cells-fusion to enucleated human oocyte-creation of genetically identical human embryos and finally creation of embryonic stem cells?. Shoukhrat Mitalipov, leader of this research, argues that the success of this technique is due to the use of premium human oocytes in meiosis stage and suboptimal activation. Although most researchers of this line ensure that the purpose is to obtain embryonic stem cells to study diseases, replace tissues without rejection or assembling organs to treat diseases.

The reality is that there is also the possibility of cloning human beings or recreate them after their own death, technique successfully performed on animals for utilitarian purposes and in some extinct beasts. To reassure us, embryonic stem cell researchers say that obtaining premium oocytes is complicated and human cloning very difficult. But what would not do a mother with enough resources, if her unique baby die?. There will be also some people interested in creating clones of superathletes or elite soldiers. Regarding the latter, the fear is well founded, since it is possible genetic modification added to cloned embryonic cells using synthetic biology a booming technique developed by C. Venter. Fortunately there are other ways to obtain embryonic stem cells : a-induced pluripotent stem cells: reprogrammed somatic cells similar to embryonic stem cells and b-adult stem cells extracted from fat, blood and other.

CLONACION  HUMANA  A  LA  VISTA

Que implica la técnica de clonacion : Somatic Cell Nuclear Transfer (SCNT): extraccion nuclear de células de piel humana-fusion con ovulos humanos desnucleados-creacion de embriones humanos genéticamente idénticos y finalmente creacion de células madre embrionarias?. Shoukhrat Mitalipov, líder de esta investigación, arguye que el éxito de esta técnica se debe al empleo de oocitos humanos de gran calidad en estado de meiosis y activación suboptima. Aunque la mayoría de investigadores de esta línea, aseguran que el propósito es obtener celulas madre embrionarias para estudiar enfermedades, reemplazar tejidos sin rechazo tisular o, ensamblar organos para tratar enfermedades.

Lo real es que también existe la posibilidad de clonar a voluntad humanos en vida o, recrearlos después de su propia muerte, practicas realizadas con éxito en animales con propósitos utilitarios y en algunas bestias extintas. Para tranquilizarnos, los investigadores de células madre embrionarias aseguran que la obtención de ovulos es complicada y la técnica de clonación humana muy difícil. No obstante ¿que no haría una madre con recursos, si su único bebe muriese?. Habra también interesados en crear clones de superatletas o soldados de elite. Respecto a lo ultimo, el temor es fundado, ya que es posible una modificación genética añadida de estas células embrionarias clonadas mediante derivaciones de biología sintetica, técnica en auge desarrollada por C. Venter. Por fortuna existen otras modalidades para obtener células madre embrionarias, las a- induced pluripotent stem cells : células somaticas reprogramadas, similares a células madre embrionarias y b- células madre adultas extraidas de tejido adiposo, sangre y otros.

Friday, May 17, 2013

WHAT IS LIFE



Dear reader: if you want to grasp the thought of a great scientist I recommend: What is Life (1944), a book of 32 pages, result of conferences on living matter, given  in 1943 at Dublin Institute for Advanced Studies. Trinity College. Provided with  logical and beautiful prose Eric Schrodinger: I-Foresee the structure (discovered in 1950), function and permanence in time of human DNA. Seeming to carry a X-ray diffracting device in his eyes (foresaw the double helix), he said beyond the influence of their predecessors Max Delbruck and HJ Muller that the  DNA is an aperiodic, ordered crystal, very complex, with no translational symmetry  (masterpiece without monotonous repetition, elaborate design and  a consistent information carrier), in contrast to a periodic crystal (simple patterns repeated at regular intervals, over and over again). Such aperiodic crystal would carry all genetic information in a stable and permanent form over many human generations because of its covalent chemical bonds settings, allowing endless encoding possibilities despite their small number of atoms (0s and 1s is enough), II- Living organisms are ultimately variables arrangements of numerical quantities of atoms. The higher the number, the more complex and greater submission to known physicochemical statistical laws.


III-Living matter does not circumvent current laws of physics chemistry. Its main arguments : order out of disorder and entropy increases in a closed system (universe) are well known. Living matter evades its decay by homeostatic processes with negative entropy in open systems. Exceptions to these rules are explained by the influence of temperature (heated bodies stop working) and others. IV-To hold open living systems, they must meet with great zeal, ordinary chemical physical laws to a great scale. Metabolism provides the energy for self-sustenance. V-Schrodinger believes that quantum jumps were equivalent to biological mutations VI-Of molecules possessing few atoms, he argues that its stability is not explained by current physical laws but by quantum mechanics. VII Although Schrodinger, did not win the Nobel Prize with  What is Life, this book, influenced on Watson and Crick and continues to do so today in many biologists and physicists.


WHAT IS LIFE

Caro lector: si deseas aprehender el pensamiento de un cientifico de raza os recomiendo :What is Life (1944), un librito de 32 paginas, resultado de conferencias en torno a la materia viva, disertadas en 1943 en el Dublin Institute for Advanced Studies. Trinity College. Proveido de una lógica y bella prosa Eric Schrodinger: I- Visualiza la estructura (descubierta en 1950), función y permanencia en el tiempo del ADN humano. Cual portador de un difractor de rayos X en sus ojos (viendo borrosamente la doble hélice), sostuvo mas alla de la influencia de sus predecesores Max Delbruck y HJ Muller que el ADN, es un cristal aperiodico, ordenado, sin simetría traslacional, muy complejo (pieza maestra de diseño, sin repeticiones monotonas, diseño elaborado y coherente, portador de información), en contraste al cristal periódico (patrones simples, repetidos con periodicidad regular, una y otra vez). Tal cristal aperiódico portaría toda la información genética en forma estable y permanente a lo largo de muchas generaciones humanas debido a su configuracion de uniones químicas covalentes, permitiendo codificaciones infinitas de posibilidades pese a su escaso numero de atomos (bastan 0s y unos), II- Que los organismos vivos en ultima instancia son arreglos de cantidades numéricas variables de atomos. A mayor numero, mas complejos y mayor sometimiento a las leyes estadísticas físico químicas conocidas.


III- La materia viva no elude las leyes actuales de la física química. Los principales argumentos de estas : orden a partir del desorden y la entropia se incrementa en sistemas cerrados (universo), son añejos. La materia viva evade su decadencia mediante procesos homeostáticos, con entropia negativa en sus sistemas abiertos. Las excepciones a estas reglas se explican por la influencia de la temperatura (organismos calentados dejan de funcionar) y, otros. IV- Para sostenerse los sistemas vivos abiertos, cumplen con con gran celo, las leyes físico químicas ordinarias a gran escala. El metabolismo provee la energía para el autosostenimiento. V- Schrodinger torno equivalentes los saltos cuanticos con las mutaciones biologicas VI- De las moleculas poseedoras de pocos atomos, arguye que su estabilidad no es explicable por las leyes físicas actuales sino por la mecánica cuántica. VIII Aunque Schrodinger, no gano con este libro el premio Nobel, si influyo en Watson y Crick y, continua haciéndolo en la actualidad en muchos biólogos y físicos

Monday, May 13, 2013

ALIEN HOAX






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I was watching in Youtube and in Der Spiegel, the remains of a mummy of hardly 13 cm of height, coming from a ghost village of the desert of Atacama (Chile), found wrapped on 2003. The mummified little man was bought to Chilean by a business-man from Barcelona and now is presented by ufologists in different world congresses, as the first alien being also included in a documentary called Sirius. Like the Skull of Piltdown, the assignment of alien to this fetus, smells to fraud. Initially, a Spanish scientist sustained that except for face and skull, the remaining ones could belong to bird bones linked to the skull of a human fetus, subjected to natural or intentional cranial deformation. Although old atacameños practiced cranial deformations, the fraudulent presentation would seem to have been carried out recently. For if it was little, other scientists: Gerry Nolan and Ralph Lachman of the University of Stanford, sustains that the characteristics of this homunculi could be attributed to an extremely rare mutation (25 cases in the entire world): Wiedemann-Rautenstrauch Syndrome (recessive autosomical disorder, with neonatal progeroid characteristics, pre and postnatal retard of the growth, face and skull malformations, extremely big head, hipoplastic and underdeveloped bones), that added to studies of X-rays and computarized tomography, would sustain the proposed syndrome. Although initially was attributed to this homunculi : 6 and up to 40 years of age, now most scientists agree that this mummy definitely belong to a human fetus of among 15 to 24 weeks of gestation. Of another side, a minimum body volume exists to provision with blood and appropriate nutrients to big brains. The body so small of this supposed adult mummy could not nurture its great brain. Human fetal brains are nurtured temporarily by maternal placentas.

ALIEN HOAX

Analizaba en Youtube y Der Spiegel, los restos de una momia de apenas 13 cm de altura, procedente de una ciudad fantasma del desierto de Atacama (Chile). Un hombrecillo momificado encontrado arropado el 2003 y comprado a chilenos por un empresario barcelones, que ahora es presentado por ufólogos en distintos congresos mundiales, como el primer alien, incluido en un documental denominado Sirius. Al igual que el Cráneo de Piltdown, la asignación de alien a este feto, huele a fraude. Inicialmente, un científico español sostuvo que con excepción de cara y cráneo, los restantes podrían pertenecer a huesos de ave pegadas al cráneo de un feto humano, sometido a deformacion craneana natural o intencional. Aunque los antiguos atacameños practicaban deformaciones craneanas, la presentación fraudulenta parecería haber sido realizada recientemente. Por si fuera poco, otros científicos : Gerry Nolan y Ralph Lachman de la Universidad de Stanford, sostienen que las características de este homúnculo podrían atribuirse a una mutacion extremadamente rara (25 casos en todo el mundo) : Sindrome de Wiedemann-Rautenstrauch (desorden autosomico recesivo con caracteres progeroides neonatales, retardo del crecimiento pre y post natal, malformaciones de cara y cráneo, cabeza extremadamente grande, huesos hipoplasicos subdesarrollados), lo que sumado a estudios de rayos X y tomografícos computarizados, sustentarían el síndrome propuesto. Aunque inicialmente se achacaba a este homunculo 6 y hasta 40 años de edad, el sentir mayoritario de los cientificos es que definitivamente se trata de un feto humano de entre 15 a 24 semanas de gestacion. De otro lado, existe un volumen corporal minimo para aprovisionar con sangre y nutrientes adecuados a grandes cerebros. El cuerpo tan pequeño de este supuesto alien adulto, no podría nutrir su gran cerebro. Los cerebros fetales humanos son nutridos temporalmente por placentas maternas.

Sunday, May 05, 2013

RAMANUJAN OR THE ANTI-SCHOOL


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How emerges a mathematical genius? a) If the mathematics are daughters of formal logic, the genius should have a high logical level, leading to a contradiction -since having rules- formal logic carries its own limits. b) The English mathematician G. H. Hardy, Ramanujan's mentor and collaborator for 5 years in Cambridge (England), argues that exceptional mathematicians (Newton, Leibnitz, Euler, Jacobi, Gauss) shows his genius at an early age ("more than any art or science, this is a young man's game"). Ramanujan had fun from 7 years in school, making theorems, formulas, reciting the complete list of Sanskrit roots, repeating the values of pi and the square root of 2 with any number of decimals. c) Such mathematicians are totally committed to this science-art, neglecting other activities. The remarkable calculist and former world chess champion Bobby Fischer practiced chess 14 hours a day from an early age. Extremely poor and in extremis brahamanist, Ramanujan only required the minimum vital, to survive and dream.


d) In these cases, scholastic formation may have an opposite effect (no formation), at least in the sense of current regulated schools. According to Hardy, an Ramanujan would have seemed more like an European professor, so the loss would be greater than the gain. e) Anti-school practitioners (Einstein, Ramanujan), are self-taught, able to develop their own methods. For Hardy, like painters or poets, mathematical geniuses devise permanent patterns (ideas). f) Without any help, Ramanujan developed highly original research: devised methods for constructing magic squares and set a value for the length of the equatorial circle of the earth, that differed from true only for a few feet. Upon awakening, he wrote and checked results (some of his theorems were incorrect): See :1729 = 13 + 123 = 93 + 103 (number of Ramanujan), Ramanujan summation, formulas to calculate the number Pi, with up to 17 million digits. Some of Ramanujan's methods have been incorporated into string theory, the zeta function, whose zeros allow predictions of the distribution of prime numbers. Hardy said that Ramanujan obtained results by a mixed process of demostration, intuition and induction (another type of logic?).


RAMANUJAN o, LA ANTIESCUELA


Como emerge el genio matematico? a) Si las matematicas son hijas de la logica formal, el genio debería ser un lógico en grado sumo, lo que conlleva cierta contradicción, ya que la lógica formal al tener reglas, porta sus propios limites. b) El matematico ingles G.H. Hardy, mentor y colaborador de Ramanujan durante 5 años en Cambridge (Inglaterra), sostiene que los matematicos de excepción (Newton, Leibnitz, Euler, Jacobi, Gauss), muestran su genio a edades muy tempranas (“mas que ningún arte o ciencia, esta es un juego de jóvenes”). Ramanujan se divertía desde los 7 años en su escuela, realizando teoremas, fórmulas, recitando la lista completa de las raíces sánscritas, repitiendo los valores de pi y la raíz cuadrada de 2 con cualquier número de cifras decimales. c) Matematicos asi, están totalmente comprometidos con esta ciencia-arte, descuidando otras actividades. ¿Acaso el notable calculista y ex-campeón mundial de ajedrez Bobby Fischer no hacia lo mismo practicando 14 horas al dia desde edad muy temprana?. Ramanujan extremadamente pobre y religioso brahamanista in extremis requería solo el minimo vital para sobrevivir y soñar.


d) En estos casos, la formación escolástica puede tener un efecto contrario (no formación), al menos en el sentido reglado de las escuelas actuales. Según Hardy, un Ramanujan educado, se hubiera parecido mas a un profesor europeo, con lo que la pérdida hubiera sido mayor que la ganancia. e) Los practicantes de la antiescuela (Einstein, Ramanujan), son autodidactas, capaces de desarrollar métodos propios. Para Hardy, al igual que pintores o poetas, los genios matematicos idean patrones de pensamiento permanentes en sus areas de estudio. f) Sin ayuda alguna, Ramanujan desarrollo trabajos de investigación muy originales: ideó métodos para construir cuadrados mágicos y establecer un valor para la longitud del círculo ecuatorial de la tierra, que difería del verdadero sólo por unos pocos pies. Al despertar, escribía resultados y los comprobaba (algunos de sus teoremas fueron incorrectos): Creo el número de Rāmānujan (1729 = 13 + 123 = 93 + 103), suma de Ramanujan, formulas para calcular el numero pi, con hasta 17 millones de digitos. Algunos de los métodos de Ramanujan han sido incorporados en la teoria de las cuerdas, la función zeta, cuyos ceros permiten predicciones de la distribución de los números primos. Hardy, afirmaba que Ramanujan obtenia resultados por un proceso mixto de demostración, intuición e inducción (otro tipo de lógica?).